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Bei dem Wirtinger-Kalkül, und seiner Verallgemeinerung durch die Dolbeault-Operatoren, handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger und die Dolbeault-Operatoren sind nach Pierre Dolbeault benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.

• Wirtinger-Kalkül

• Motivation und Definition

• Holomorphe Funktionen

• Eigenschaften

• Dolbeault-Operator

• Dolbeault-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten

• Weblinks

• Literatur

Eine komplexe Zahl z ∈ ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } wird durch z := x + i y {\displaystyle z:=x+\mathrm {i} y} in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei G ⊂ ⊂ R 2 {\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2}} ein Gebiet und f = u + i v : : G → → C {\displaystyle f=u+\mathrm {i} v\colon G\to \mathbb {C} } eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die partiellen Ableitungen

∂ ∂ f ∂ ∂ x = ∂ ∂ u ∂ ∂ x + i ∂ ∂ v ∂ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial x}}}

und

∂ ∂ f ∂ ∂ y = ∂ ∂ u ∂ ∂ y + i ∂ ∂ v ∂ ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial y}}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial y}}} .

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} verwendet man z = x + i y {\displaystyle z=x+\mathrm {i} y} und z ¯ ¯ = x − − i y {\displaystyle {\bar {z}}=x-\mathrm {i} y} .

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von f {\displaystyle f} als

d f = ∂ ∂ f ∂ ∂ x d x + ∂ ∂ f ∂ ∂ y d y {\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y} .

Aus z = x + i y {\displaystyle z=x+\mathrm {i} y} und z ¯ ¯ = x − − i y {\displaystyle {\bar {z}}=x-\mathrm {i} y} ergibt sich

x = 1 2 ( z + z ¯ ¯ ) {\displaystyle \textstyle x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})} und y = 1 2 i ( z − − z ¯ ¯ ) = i 2 ( z ¯ ¯ − − z ) {\displaystyle \textstyle y={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}})={\frac {\mathrm {i} }{2}}({\bar {z}}-z)} .

Für die Differentiale erhält man daraus

d x = 1 2 ( d z + d z ¯ ¯ ) {\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(\mathrm {d} z+\mathrm {d} {\bar {z}})} und d y = i 2 ( d z ¯ ¯ − − d z ) {\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {i} }{2}}(\mathrm {d} {\bar {z}}-\mathrm {d} z)} .

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

d f = 1 2 ( ∂ ∂ f ∂ ∂ x − − i ∂ ∂ f ∂ ∂ y ) d z + 1 2 ( ∂ ∂ f ∂ ∂ x + i ∂ ∂ f ∂ ∂ y ) d z ¯ ¯ {\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} z+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} {\bar {z}}} .

Um (formal) die Beziehung

d f = ∂ ∂ f ∂ ∂ z d z + ∂ ∂ f ∂ ∂ z ¯ ¯ d z ¯ ¯ {\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {d} {\bar {z}}}

zu erhalten, setzt man

∂ ∂ f ∂ ∂ z := 1 2 ( ∂ ∂ f ∂ ∂ x − − i ∂ ∂ f ∂ ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}

und

∂ ∂ f ∂ ∂ z ¯ ¯ := 1 2 ( ∂ ∂ f ∂ ∂ x + i ∂ ∂ f ∂ ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)} .

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Für ∂ ∂ f ∂ ∂ z {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}} schreibt man auch kurz ∂ ∂ f {\displaystyle \,\partial f} , für ∂ ∂ f ∂ ∂ z ¯ ¯ {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}} schreibt man ∂ ∂ ¯ ¯ f {\displaystyle {\bar {\partial }}f} . Der Operator ∂ ∂ ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\partial }}} heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn ∂ ∂ ¯ ¯ f = 0 {\displaystyle {\overline {\partial }}f=0} gilt. In diesem Fall ist ∂ ∂ f {\displaystyle \partial f} die Ableitung von f {\displaystyle f} . Dies gilt, da die Gleichung ∂ ∂ ¯ ¯ f = 0 {\displaystyle {\overline {\partial }}f=0} eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator ∂ ∂ ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\partial }}} den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion f {\displaystyle f} die Gleichung ∂ ∂ f = 0 {\displaystyle \partial f=0} so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus ∂ ∂ ¯ ¯ f {\displaystyle {\overline {\partial }}f} berechnet werden.

Es gelten die Gleichungen

∂ ∂ f ∂ ∂ x = ∂ ∂ f + ∂ ∂ ¯ ¯ f {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial f+{\overline {\partial }}f}

und

∂ ∂ f ∂ ∂ y = i ( ∂ ∂ f − − ∂ ∂ ¯ ¯ f ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=\mathrm {i} \left(\partial f-{\overline {\partial }}f\right)} .

Die Operatoren ∂ ∂ {\displaystyle \partial } und ∂ ∂ ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\partial }}} sind C {\displaystyle \mathbb {C} } -linear, das heißt für a , b ∈ ∈ C {\displaystyle a,b\in \mathbb {C} } und reell differenzierbare Funktionen f , g : : G → → C {\displaystyle f,g\colon G\to \mathbb {C} } gilt

∂ ∂ ( a f + b g ) = a ∂ ∂ f + b ∂ ∂ g {\displaystyle \partial (af+bg)=a\partial f+b\partial g}

und

∂ ∂ ¯ ¯ ( a f + b g ) = a ∂ ∂ ¯ ¯ f + b ∂ ∂ ¯ ¯ g {\displaystyle {\overline {\partial }}(af+bg)=a{\overline {\partial }}f+b{\overline {\partial }}g} .

Für jede reell differenzierbare Funktion f {\displaystyle f} gilt

∂ ∂ ¯ ¯ f = ∂ ∂ f ¯ ¯ ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\partial }}f={\overline {\partial {\overline {f}}}}}

und

∂ ∂ ¯ ¯ f ¯ ¯ = ∂ ∂ f ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\partial }}\ {\overline {f}}={\overline {\partial f}}} .

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

∂ ∂ ( g ∘ ∘ f ) ∂ ∂ z ( z 0 ) = ∂ ∂ g ∂ ∂ w ( f ( z 0 ) ) ⋅ ⋅ ∂ ∂ f ∂ ∂ z ( z 0 ) + ∂ ∂ g ∂ ∂ w ¯ ¯ ( f ( z 0 ) ) ⋅ ⋅ ∂ ∂ f ¯ ¯ ∂ ∂ z ( z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)}{\partial z}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial z}}(z_{0})}

und

∂ ∂ ( g ∘ ∘ f ) ∂ ∂ z ¯ ¯ ( z 0 ) = ∂ ∂ g ∂ ∂ w ( f ( z 0 ) ) ⋅ ⋅ ∂ ∂ f ∂ ∂ z ¯ ¯ ( z 0 ) + ∂ ∂ g ∂ ∂ w ¯ ¯ ( f ( z 0 ) ) ⋅ ⋅ ∂ ∂ f ¯ ¯ ∂ ∂ z ¯ ¯ ( z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})} .

Das Hauptsymbol von ∂ ∂ {\displaystyle \partial } ist ξ ξ ↦ ↦ 1 2 ( ξ ξ 1 − − i ξ ξ 2 ) {\displaystyle \xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}-\mathrm {i} \xi _{2})} und das Hauptsymbol von ∂ ∂ ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\partial }}} ist ξ ξ ↦ ↦ 1 2 ( ξ ξ 1 + i ξ ξ 2 ) {\displaystyle \xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}+\mathrm {i} \xi _{2})} . Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

Δ Δ f = 4 ∂ ∂ ∂ ∂ ¯ ¯ f = 4 ∂ ∂ ¯ ¯ ∂ ∂ f {\displaystyle \Delta f=4\partial {\overline {\partial }}f=4{\overline {\partial }}\partial f}

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

D := 2 ( 0 − − ∂ ∂ ∂ ∂ ¯ ¯ 0 ) {\displaystyle D:=2{\begin{pmatrix}0&-\partial \\{\overline {\partial }}&0\end{pmatrix}}}

ein Dirac-Operator ist.

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators ∂ ∂ ∂ ∂ z ¯ ¯ {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}} ist 1 π π z {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\pi z}}} , das heißt die durch die Funktion u ( z ) = 1 π π z {\displaystyle \textstyle u(z)={\frac {1}{\pi z}}} erzeugte Distribution löst die Gleichung ∂ ∂ ∂ ∂ z ¯ ¯ u ( z ) = δ δ {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}u(z)=\delta } , wobei δ δ {\displaystyle \delta } die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. Wie oben werden Elemente von C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} zerlegt in ( z 1 , … … z n ) = ( x 1 + i y 1 , … … , x n + i y n ) {\displaystyle (z_{1},\ldots z_{n})=(x_{1}+\mathrm {i} y_{1},\ldots ,x_{n}+\mathrm {i} y_{n})} . Sei nun D ⊂ ⊂ C n {\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}} eine offene Teilmenge und f = ( f 1 , … … , f m ) : D → → C m {\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):D\rightarrow \mathbb {C} ^{m}} eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren

∂ ∂ ∂ ∂ z j := 1 2 ( ∂ ∂ ∂ ∂ x j − − i ∂ ∂ ∂ ∂ y j ) j = 1 , … … , n {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{j}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)\quad j=1,\ldots ,n}

und

∂ ∂ ∂ ∂ z ¯ ¯ j := 1 2 ( ∂ ∂ ∂ ∂ x j + i ∂ ∂ ∂ ∂ y j ) j = 1 , … … , n {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{j}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)\quad j=1,\ldots ,n}

auf C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} . Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch

∂ ∂ f := ∑ ∑ j = 1 n ∂ ∂ ∂ ∂ z j f d z j {\displaystyle \partial f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial z_{j}}}f{\rm {d}}z_{j}}

und

∂ ∂ ¯ ¯ f := ∑ ∑ j = 1 n ∂ ∂ ∂ ∂ z ¯ ¯ j f d z ¯ ¯ j {\displaystyle {\overline {\partial }}f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}f{\rm {d}}{\overline {z}}_{j}}

definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass f {\displaystyle f} genau dann holomorph ist, wenn ∂ ∂ ¯ ¯ f = 0 {\displaystyle {\overline {\partial }}f=0} gilt und die reelle Ableitung wird durch

d f = ∂ ∂ ¯ ¯ f + ∂ ∂ f {\displaystyle {\mathrm {d} }f={\overline {\partial }}f+\partial f}

dargestellt. Im holomorphen Fall gilt d f = ∂ ∂ f {\displaystyle \textstyle \mathrm {d} f=\partial f} , da ja ∂ ∂ ¯ ¯ f = 0 {\displaystyle {\overline {\partial }}f=0} gilt.

→

Hauptartikel

:

Komplexe Differentialform

Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der Hodge-Theorie insbesondere in der Dolbeault-Kohomologie, welche das komplexe Analogon zur De-Rham-Kohomologie ist, zu finden.

• Eric W. Weisstein: Del Bar Operator. In: MathWorld (englisch).

• Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen, Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8.

• Ingo Lieb: The Cauchy-Riemann Complex, Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4.